✏️PERMUTATIONS
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{PROBLEM:}}[/tex]
- In how many ways can the letters of the word OPTIMISM be arranged?
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{ANSWER:}}[/tex]
[tex]\qquad\LARGE\rm» \:\: \green{10\text,080\:ways}[/tex]
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{SOLUTION:}}[/tex]
- This 8-letter word can be arranged is 8! ways and remove the other repeating arrangements such that two I's is arranged in 2! ways and two M's is arranged in 2! ways.
[tex]\begin{aligned} & \bold{\color{lightblue}Formula:} \\ & \boxed{\: \rm P = \frac{n!}{n_1! \ n_2! \ ... \ n_k!} \:}\end{aligned}[/tex]
- [tex] \begin{aligned} \rm P = \frac{8!}{2! \ 2!}\end{aligned}[/tex]
- [tex] \begin{aligned} \rm P = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!}}{ \cancel{2!} \cdot2}\end{aligned}[/tex]
- [tex] \begin{aligned} \rm P = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel4^{ \: 2} \cdot 3}{ \cancel2}\end{aligned}[/tex]
- [tex]\rm P = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2[/tex]
- [tex]\rm P = 10\text,080[/tex]
[tex]\therefore[/tex] There are 10,080 ways to arrange the letters of the word OPTIMISM.
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
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